Ces généralités sont à réinvestir dans de nombreux domaines de la physique, en particulier l'acoustique, l'électromagnétisme, l'optique ondulatoire, la physique quantique, l'électrodynamique quantique ...
▪ Une onde est une propagation de proche en proche d'un certain état physique créé dans une région de l'espace par une source; pour une onde sonore par exemple, l'état physique est une surpression. Suivant cette définition, un courant alternatif Imcos(wt+j) ou les vibrations d'un pendule ne sont pas des ondes.
▪ Une onde longitudinale est une vibration parallèle à la direction de propagation, comme l'onde sonore.
▪ Une onde transversale est une vibration perpendiculaire à la direction de propagation, comme l'onde électromagnétique.
▪ Une onde plane permet le choix d'un système de coordonnées (x, y, z) dans lequel l'onde ne dépend ni de y, ni de z.
▪ On définit la pulsation w = 2p/T en fonction de la période T et le vecteur d'onde k = 2p/l en fonction de la longueur d'onde l.
▪ Les ondes progressive et régressive se déplacent sans se déformer.
Une onde plane progressive a pour formule Ymcos(kx-wt) = Ymcos(wt-kx) ou Ymei(kx-wt) º Ymei(wt-kx) en notation complexe.
Une onde plane régressive a pour formule Ymcos(kx+wt) = Ymcos(-kx-wt) ou Ymei(kx+wt) º Yme-i(kx+wt).
▪ Une onde stationnaire s'écrit f( )g(t) en notation réelle.
Il s'agit de la somme d'une onde progressive et d'une onde régressive où une seule réflexion est considérée.
▪ Une onde sphérique permet le choix d'un système de coordonnées (r, q, j) dans lequel l'onde ne dépend ni de q, ni de j. Le laplacien est donc restreint à sa dépendance à r, et l'équation de d'Alembert devient
1/r ¶2(rx)/¶r² - 1/c² ¶²x/¶t² = 0. En posant z = rx, 1/r ¶2(z)/¶r² - 1/c² ¶²z/¶t² = 0 Þ z = f(r-ct)+g(r+ct).
Þ x = 1/r f(r-ct) + 1/r g(r+ct)
Célérité
Opérateur d'alembertien = ¶²/¶x² - 1/c² ¶²/¶t².
L'équation d'une onde s'écrit y = 0.
Pour une onde progressive y = Ymei(wt-kx), y = -ky + 1/c² w²y = 0 Þ c = w/k.
Þ c = l/T en m.s-1. Donc c est la célérité de l'onde.
Vitesse de phase
y = Ymei(wt-kx). La phase est le terme f = wt-kx, le plan de phase correspond à f = cst Þ 0 = wdt – kdx Þ dx/dt = w/k = vj qui est la vitesse d'un plan de phase.
Vitesse de groupe
Considérons un paquet de deux ondes : w-dw, k-dk et w+dw, k+dk
y = Ymcos([k+dk]x-[w+dw]t) + Ymcos([k-dk]x-[w-dw]t) = 2Ymcos(kx-wt)cos(xdk-tdw).
Le point maximum est obtenu pour cos(xdk-tdw) = 1 Þ xdk-tdw = 0 "(x,t) (1)
Þ (x+dx)dk-(t+dt)dw = 0 (2)
(1)+(2) u dxdk-dtdw = 0 Þ dx/dt = dw/dk = vg vitesse du point maximum.
Nous démontrons ici l'effet Doppler classique, appliquable aux ondes sonores et aussi à la lumière si la source de cette dernière a une vitesse négligeable devant celle de la lumière.
Le signal émis par la source S à l'instant t est perçu par l'observateur O à l'instant t +d/c et
le signal émis par la source S à l'instant t+T0 est perçu par l'observateur O à l'instant t +T0 + (d-vcosaT0)/c si S et O se rapprochent et à l'instant t +T0 + (d+vcosaT0)/c si S et O s'éloignent.
La période d'émission est T0 et la période de réception est T = t +T0 + (d-vcosaT0)/c –t-d/c = T0(1- vcosa /c)
s'il y a rapprochement et T0(1+ vcosa /c) s'il y a éloignement.
Notons que si v est relativiste, T mesuré par O n'est pas T0 et il faut se référer au chapitre sur la relativité restreinte.
